Český lékopis 1997

Pokud chybí více než jedno pozorování, může se použít stejný vzorec. Postup je takový, že se hrubě odhadnou všechny chybějící hodnoty kromě jedné, a ta se vypočte podle uvedeného vzorce ze všech ostatních hodnot, včetně těch hrubě odhadnutých. Vypočtená hodnota se vezme za pozorovanou a pokračuje se stejným postupem pro všechny další chybějící hodnoty. Po vypočtení všech chybějících hodnot tímto postupem se provede cyklus znovu od začátku, přičemž se místo hrubých odhadů použijí posledně vypočtené hodnoty pro všechny chybějící odpovědi. To vše se opakuje několikrát, až se získají ve dvou po sobě následujících cyklech stejné hodnoty. Konvergence tohoto postupu je obvykle rychlá.

Pokud je počet nahrazovaných hodnot relativně malý v porovnání s celkovým rozsahem zkoušky (řekněme menší než 5 %), je použitá aproximace chybějících hodnot a redukce stupňů volnosti o počet chybějících hodnot obvykle uspokojivá. Nicméně výsledky by se měly interpretovat velmi opatrně, obzvláště pokud chybějící hodnoty v některém ošetření nebo bloku převažují. Pak by měl biometr uvážit, zda nepůsobily v průběhu zkoušky nějaké další nežádoucí vlivy. Nahrazení chybějících hodnot ve zkoušce bez jejího opakování je vždy choulostivé.

1. Úplné znáhodnění

   Při úplném znáhodnění se za odhad chybějící hodnoty bere aritmetický průměr všech ostatních odpovědí daného ošetření.

1. Plán náhodných bloků

   Chybějící hodnota (y´) se vypočte podle vzorce:

   kde B´ je součet odpovědí v bloku obsahujícím příslušné chybějící pozorování, T´ součet odpovědí při příslušném ošetření a G´ součet všech odpovědí ve zkoušce.

   Jako příklad nechť chybí odpověď u₁ v prvém bloku zkoušky antibiotik (příklad 3.2.8.2).

   B´	= 1050
   T´	= 869
   G´	= 7189
   y´	= 174
   k	= 6
   n	= 6

   Místo hodnoty 174 = u1 v tabulce odpovědí se získá podle vzorce (3.2.6-1) odhad 173. Hodnocení zkoušky bude stejné jako v příkladu 3.2.8.2, ale počet stupňů volnosti pro reziduální chybu bude roven 24 a pro celkový součet čtverců 34.

1. Latinské čtverce

   Chybějící hodnota (y´) se nahradí podle vzorce:

   kde B´ a C´ jsou součty odpovědí v řádce a sloupci s chybějícím pozorováním. V tomto případě je k = n. Když v příkladu 3.2.8.3 chybí hodnota 165 v sedmém sloupci a v šestém řádku, dostane se její odhad 169 podle vzorce (3.2.6-2) z hodnot:

   B´	= 1582
   C´	= 1663
   T´	= 1355
   G´	= 15956
   k	= 9

   Stupně volnosti reziduální chyby budou redukovány na 55 a celkového součtu čtverců na 79.

1. Dvoudávková křížová zkouška

   Když se chybějící pozorování vyskytne v dvoudávkové křížové zkoušce, je důležité konzultovat situaci se statistikem, protože vyhodnocení závisí na konkrétní kombinaci ošetření.

1. 3.2.7 Částečně vyvážená zkouška

   Liší-li se předpokládaná účinnost testovaného přípravku výrazně od skutečné účinnosti, může se stát, že nejvyšší dávka poskytuje již jen nejvyšší možnou odpověď, nebo naopak, že odpověď na nejnižší dávkuje minimální možná. Tyto odpovědi neleží v lineární části regresní křivky, testy validity indikují odchylku od linearity nebo nerovnoběžnost ve vztahu standardu a testovaného přípravku.

   V daném případě se může odpověď na nejnižší nebo nejvyšší dávku ze zkoušky vyloučit. Ze zbývajících dat se vypočte provizorní odhad relativní účinnosti. Tento odhad účinnosti umožňuje vhodnější volbu dávek standardu a zkoušeného přípravku v nové zkoušce.

   Logaritmus relativní účinnosti se získá ze vzorce:

   který je velmi podobný vzorci 3.2.5-3, pouze jedna polovina rozdílu logaritmů sousedních dávek se odčítá při vypuštění nejnižší dávky nebo přičítá při vypuštění dávky nejvyšší.

   Průměrné odpovědi yU a yS se získají stejně jako v úplně vyvážené zkoušce (rovnice 3.2.5-1), ale vzhledem k plánu zkoušky je nutné poněkud modifikovat výpočet sklonu (b).

   Ve vícenásobné zkoušce, původně se dvěma dávkami pro každý přípravek, se dají vypočítat všechny lineární kontrasty, (LS...LZ) s výjimkou kontrastu LU. (Při vyloučení jedné z dávek u1 nebo u2 není možné vypočíst kontrast LU).

   Sklon se získá vypočtením průměru L a vydělením In:

   Ve zkoušce pouze jednoho přípravku je:

   Ve vícenásobných třídávkových zkouškách se získá LU z tabulky 3.2.3-I a všechny ostatní lineární kontrasty z tabulky 3.2.3-II. Vzorec pro výpočet sklonu je:

   Při testování pouze jediného přípravku se vzorec redukuje na:

1. 3.2.8 Příklady

   Příklady v této kapitole ilustrují použití vzorců vztahujících se k modelu rovnoběžnosti.

   Příklady 3.2.8.1, 3.2.8.2 a 3.2.8.3 zahrnují dvou- a třídávkové zkoušky, včetně vícenásobných, a pokusné plány: úplně znáhodněný, náhodné bloky i latinské čtverce.

   Příklad 3.2.8.4 ilustrující křížový dvoudávkový pokus obsahuje dosud nezavedené značení. Pro každou skupinu odpovědí ve zkoušce je zvlášť třeba vypočítat součet, lineární kontrasty a celkovou odpověď. Je potřebné znát i celkovou odpověď pro každého jedince. I když se v příkladu užívá označení den I a den II, není nutné provádět zkoušku ve dvou dnech. Podstatnou předností je, že efekt ošetření z první části křížové zkoušky se u každé pokusné jednotky vyloučí jejím ošetřením v druhé části zkoušky.

   Příklad 3.2.8.1 popisuje použití Dunnettova testu validity v mnohonásobné zkoušce. Bartlettův test je použit v příkladech 3.2.8.1 a 3.2.8.1, Hartleyův test v příkladu 3.2.8.4.

   Příklady mají ilustrovat především statistickou metodu výpočtů. Jejich cílem není výběr nejvhodnějšího z různých zkušebních plánů použitých v lékopisných článcích.

   Při analýze provedené počítačem může větší počet desetinných míst způsobit malé odchylky ve výsledných hodnotách. Na konci některých příkladů jsou uvedeny takovéto přesnější výsledky. Odchylky ilustrují efekt zaokrouhlování.

   Příklad 3.2.8.1 Dvoudávková vícenásobná zkouška úplně znáhodněná

   1. Stanovení účinnosti kortikotropinu podkožním podáním krysám

      Standard se podával v dávkách 0,25 a 1,0 jednotek na 100 g tělesné hmotnosti. Testovaly se dva přípravky, oba o předpokládané účinnosti 1 jednotka na miligram. Přípravky se tedy podávaly ve stejných dávkách jako standard. Průměry a rozptyly odpovědí ve všech ošetřovaných skupinách (tabulka 3.2.8.1-I) nenaznačují vzájemnou závislost.

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin

      	Standard S		Přípravek U		Přípravek Z
      	s1	s2	u1	u2	z1	z2
      	300	289	310	230	250	236
      	310	221	290	210	268	213
      	330	267	360	280	273	283
      	290	236	341	261	240	269
      	364	250	321	241	307	251
      	328	231	370	290	270	294
      	390	229	303	223	317	223
      	360	269	334	254	312	250
      	342	233	295	216	320	216
      	306	259	315	235	265	265
      průměr	332,0	248,4	323,9	244,0	282,2	250,0
      rozptyl (vari)	1026,7	483,8	725,0	718,7	854,6	784,7
      ln rozptylu	6,9341	6,1817	6,5862	6,5774	6,7506	6,6653

      Ověření normality rozložení je provedeno Shapiro-Wilk testem v nezávislých skupinách odpovědí.

      Nejprve se vypočte hodnota v pro ošetření ve skupině S1 (viz tabulka 3.2.8. l-II). Hodnoty a, q a m se najdou v tabulce 3.1.1-II pro n = 10:

      1. a = 0,366
      2. q = -3,26
      3. m = 1,47

      Dále se vypočte hodnota V:

      a odtud H= -3,26 + (1,47. 2,60) = 0,56.

      Podobně se vypočtou hodnoty H pro ostatní ošetření (viz výsledky v tabulce 3.2.8.1-III).

      Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10)

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10)

      Pořadí	Seřazené odpovědi yi	Koeficient ai (tab. 3.1.1-I)	Součin aiyi
      1	290	-0,574	-166,46
      2	300	-0,329	-98,70
      3	306	-0,214	-65,48
      4	310	-0,122	-37,82
      5	328	-0,040	-13,12
      6	330	+0,040	13,20
      7	342	+0,122	41,72
      8	360	+0,214	77,04
      9	364	+0,329	119,76
      10	390	+0,574	223,86

      Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10)

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10)

      	s1	s2	u1	u2	z1	z2
      	94,00	63,63	78,60	78,28	82,90	81,96
      	9240,00	4354,40	6524,90	6468,00	7991,60	7062,00
      v	0,956	0,930	0,947	0,947	0,893
      						0,95
      						1
      V	2,60	2,09	2,39	2,39	1,59	2,48
      H	0,56	-0,19	0,25	0,25	-0,92	0,39

      Pro data z tabulky 3.2.8.1-III se vypočte testovací statistika:

      Porovnání vypočtené hodnoty s kritickou hodnotou v tabulce 6.1 (t = 1,96) na hladině významnosti 0,95 ukazuje, že data nejsou v rozporu s nulovou hypotézou normality.

      Pokud provedeme analýzu pomocí počítačového programu, získáme hodnoty:

      Bartlettův test neprokázal ani nehomogennost rozptylů.

      Testovací statistika pro k skupin rozptylů o f stupních volnosti se vypočte podle vzorce:

      Pro k = 6 a f = 9 vyjde:

      Tato hodnota je menší než kritická hodnota 11,07 z tabulky 5.4.2-I pro P = 0,95 a (k - 1) = 5 stupňů volnosti.

      Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I)

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I)

      	Standard	Přípravek	Přípravek	Součet
      nízká dávka	S1 = 3320	U1 = 3239	Z1 = 2822
      vysoká dávka	S2 = 2484	U2 = 2440	Z2 = 2500
      přípravek celkem	S = 5804	U = 5679	Z = 5322
      lineární kontrast	LS = -836	LU= -799	LZ = -322

      Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu

      Zdroj variability	Stupně volnosti	Součet čtverců	Průměrný čtverec	F	P
      přípravky	2	6256,6	3128,3
      regrese	1	63 830,8	63 830,8	83,4	< 0,01
      nerovnoběžnost	2	8218,2	4109,1	5,4	< 0,01
      ošetření	5	78 305,7
      reziduální chyba	54	41 340,9	765,6
      součet	59	119 646,6

      Korekční člen K:

      Hodnoty součtů čtverců se získají z dat v tabulce 3.2.8.1-IV pomocí vzorců z tabulek 3.2.3-IV a 3.2.3-V.

      Reziduální chyba = Celkový - Ošetření = 41 340,90

   1. Validita zkoušky

      Výpočty potvrzují významnou regresi (závislost na dávce). Hodnota F = 83,4 pro regresi je mnohem větší než interpolovaná kritická hodnota z tabulky 3.2.4-I pro P = 0,01, f₁ = 1 a f₂ = 54.

      Odchylka od rovnoběžnosti je však také statisticky významná (P < 0,05). Vypočtená hodnota F = 5,4. Při podrobnějším prohlédnutí lineárních kontrastů v tabulce 3.2.8.1.-IV je zřejmé, že lineární kontrast Z je menší než kontrasty S a U. Tuto domněnku lze potvrdit Dunnettovým testem:

      kde s² = reziduální rozptyl, tj. 765,6, a L_P je lineární kontrast testovaného přípravku P.

      Pro přípravek P = U:

      Pro přípravek P = Z:

      Z tabulky 3.2.4-II je kritická hodnota t´= 2,27 pro P = 0,05 s f₁ =2 a f₂= 54 (f₁ = počet testovaných přípravků).

      Z těchto důvodů se pro nerovnoběžnost se standardem vyloučí přípravek Z. Výpočet se tedy provede znovu pouze pro přípravek U a standard (Σy = 11 486; ΣL = -1635).

      Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z

      Zdroj variability	Stupně volnosti	Součet čtverců	Průměrný čtverec	F	P
      přípravky	1	390,6	390,6
      regrese	1	66 830,60	66 830,6	90,5	< 0,01
      nerovnoběžnost	1	34,2	34,2	0,05	> 0,05
      ošetření	3	67 255,5
      reziduální chyba	36	26 587,3	738,5
      součet	39	93 842,8

      1. Korekční člen K:

      Výsledky analýzy rozptylu ukazují, že zkouška s vynecháním přípravku Z je validní z pohledu závislosti na dávce a rovnoběžnosti.

   1. Výpočet účinnosti a jejích mezí spolehlivosti

   Po vyloučení přípravku Z se vypočte pouze jedna účinnost.

   Podíl sousedních dávek je 4,0 a je tedy I= ln 4 = 1,3863, z tabulky 6.1 je t = 2,03 pro 36 stupňů volnosti a pravděpodobnost P = 0,95.

   Protože přípravek byl deklarován jako 1 jednotka na miligram,

   Účinnost získáme odlogaritmováním M_U, je tedy M_U = 1,11 jednotek na miligram.

   Meze spolehlivosti jsou tedy od 0,82 do 1,51 jednotek na miligram.

   Příklad 3.2.8.2 Třídávková metoda s náhodnými bloky bez opakování

   1. Stanovení účinnosti antibiotik na Petriho miskách

      Standardní přípravek se aplikoval v dávkách 2,4 a 8 jednotek. Na základě deklarované účinnosti A_U = 1500 jednotek na mililitr byly připraveny odpovídající dávky přípravku . Všech šest ošetření bylo najednou aplikováno na každou misku. Rozptyl všech ošetření (tabulka 3.2.8.2-I) nejeví závislost na příslušných průměrech. Není tedy důvod pochybovat o splnění podmínky 2 z kapitoly 3.1.

      Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10)

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10)

      	Standard			Přípravek			Součet v bloku
      miska	s1	s2	s3	u1	u2	u3
      1	176	205	235	174	202	232	R1 = 1224
      2	178	208	238	175	206	234	R2 = 1239
      3	178	207	237	177	203	236	R3 = 1238
      4	175	205	235	173	201	232	R4 = 1221
      5	176	206	235	174	204	231	R5 = 1226
      6	174	204	236	170	202	229	R6 = 1215
      průměr	176,2	205,8	236,0	173,8	203,0	232,3
      rozptyl	2,6	2,2	1,6	5,4	3,2	5,9

      Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II)

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II)

      	Standard	Přípravek	Součet
      nízká dávka	S1 = 1057	U1 = 1043
      střední dávka	S2 = 1235	U2 = 1218
      vysoká dávka	S3 = 1416	U3 = 1394
      přípravek celkem	S = 3708	U = 3655	Σy = 7363
      lineární kontrast	LS = 359	LU = 351	ΣL = 710
      kvadratický kontrast	QS = 3	QU= 1	ΣQ = 4

      Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu

      Zdroj variability	Stupně volnosti	Součet čtverců	Průměrný čtverec	F	P
      přípravky	1	78,03	78,03
      regrese	1	21 004,17	21 004,17	18 737	< 0,01
      nerovnoběžnost	1	2,67	2,67	2,4	> 0,05
      kvadratická regerese	1	0,22	0,22	0,2	> 0,05
      odchylka kvadratických členů	1	0,06	0,06	0,05	> 0,05
      	5	21 085,14
      ošetření	5	75,80	15,16	13,5	< 0,01
      bloky (misky)	25	28,03	1,121
      reziduální chyba	35	21 188,97
      součet

   Korekční člen K:

   Hodnoty pro součty čtverců se získají z tabulky 3.2.8.2-II pomocí vzorců v tabulkách 3.2.3-IV a 3.2.3-V.

   Reziduální = Celkový - Ošetření - Bloky = 28,03

   Výsledky analýzy prokazují významnost (P < 0,01) rozdílu mezi jednotlivými Petriho miskami, a tedy užitečnost použití tohoto plánu experimentu. Pokud by ošetření byla rozdělena na misky náhodně, pak by rozdíly odpovědí na jednotlivých miskách způsobily zvětšení reziduálního rozptylu s², což by vedlo k širším mezím spolehlivosti.

   1. Validita zkoušky

      Významnost regrese (P < 0,01) a nevýznamnost (P < 0,05) nelinearity i odchylky od rovnoběžnosti potvrzují, že zkouška je validní, což umožňuje výpočet účinnosti přípravku a jejích mezí spolehlivosti. Testování validity je uvedeno v kapitole 3.2.4.

   1. Výpočet účinnosti a mezí spolehlivosti

   Podíl sousedních dávek byl 2,0, takže:

   Podle tabulky 6.1 je t = 2,06 pro 25 stupňů volnosti a pravděpodobnost P = 0,95.

   Logaritmus relativní účinnosti přípravku je tedy:

   Odhad účinnosti získaný odlogaritmováním M je tedy 1400 jednotek na mililitr:

   Logaritmy mezí spolehlivosti se vypočtou jako:

   Meze spolehlivosti jsou tedy 1378 až 1423 jednotek na mililitr.

   Po vyhodnocení pomocí počítačového programu se obdrží hodnoty:

   C = 1,000227

   Meze spolehlivosti jsou 1376,3 - 1424,1 jednotek na mililitr.

   Příklad 3.2.8.3 Třídávková vícenásobná zkouška latinskými čtverci bez opakování

   1. Zkouška antibiotik na pravoúhlé plotně

      Standardní přípravek se aplikoval v dávkách 3, 6 a 12 jednotek. Na základě předpokládané účinnosti přípravků a , AU= 2000 a A_Z= 2500 jednotek byly připraveny ekvivalentní dávky těchto přípravků. Všech devět ošetření bylo aplikováno jednou v každém sloupci a každém řádku.

      Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec)

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec)

      Sloupce
      Řádky	1	2	3	4	5	6	7	8	9
      1	u1	z1	u2	s2	z2	z3	u3	s1	s3
      2	s2	u3	u1	z3	s1	u2	s3	z1	z2
      3	s1	s2	u3	u1	z1	z2	z3	s3	u2
      4	z2	s3	s1	z1	u3	u1	u2	s2	z3
      5	z3	z2	s2	s1	u2	s3	z1	u3	u1
      6	u2	z3	s3	z2	s2	u3	s1	u1	z1
      7	z1	u2	z2	u3	s3	s1	u1	z3	s2
      8	s3	s1	z3	u2	u1	z1	s2	z2	u3
      9	u3	u1	z1	s3	z3	s2	z2	u2	s1

      Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10)

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10)

      Sloupce
      Řádky	1	2	3	4	5	6	7	8	9	řádkové součty
      1	164	171	194	206	211	237	237	172	224	R1 = 1816
      2	188	224	178	236	180	210	237	180	210	R2 = 1843
      3	168	203	230	175	175	209	236	238	207	R3 = 1841
      4	182	214	162	175	227	171	194	201	225	R4 = 1751
      5	220	186	192	169	205	230	169	237	167	R5 = 1775
      6	183	217	223	200	195	228	165	171	165	R6 = 1747
      7	163	195	203	229	230	175	179	233	196	R7 = 1803
      8	218	163	228	200	167	175	207	199	233	R8 = 1790
      9	218	163	162	216	233	194	204	199	166	R9 = 1755
      sloupcové	C1 =	C2 =	C3 =	C4=	C5 =	C6 =	C7 =	C8 =	C9 =
      součty	1704	1736	1772	1806	1823	1829	1828	1830	1793

      Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10) Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky

      	Standard			Přípravek			Přípravek
      	s1	s2	s3	u1	u2	u3	z1	z2	z3
      průměr	168,9	198,0	225,6	170,6	198,6	229,2	170,6	200,4	229,4
      ošetření
      rozptyl	34,61	43,00	77,03	34,03	67,78	36,94	39,03	105,78	54,28
      (vari)
      ln (vari)	3,5442	3,7612	4,3442	3,5272	4,2162	3,6094	3,6643	4,6613	3,9942

      Bartlettův test neprokázal statisticky významnou odchylku heterogenity rozptylů (i když je nutno si uvědomit, že tento test je použitelný, přísně vzato, pouze pro plně znáhodněný plán experimentu). Pro skupinu k rozptylů, každý s f stupni volnosti, test představuje výpočet:

      To se pro k = 9, f = 8 redukuje na:

      Tato hodnota je menší než kritická hodnota (15,51) z tabulky 6.2 pro (k - 1) stupňů volnosti a pravděpodobnost P = 0,95.

      Tab. 3.2.8.3-IV Součty odpovědí a kontrasty

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10) Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky Tab. 3.2.8.3-IV Součty odpovědí a kontrasty

      	Standard S	Přípravek U	Přípravek z	Součet
      nízká dávka	S1 = 1520	U1 = 1535	Z1 = 1535
      střední dávka	S2 = 1782	U2 = 1787	Z2 = 1804
      vysoká dávka	S3 = 2030	U3 = 2063	Z3 = 2065
      přípravek celkem	S = 5332	U = 5385	Z = 5404	Σy = 16 121
      lineární kontrast	LS = 510	LU = 528	LZ = 530	ΣL = 1568
      kvadratický kontrast	QS = -14	QU = 24	QZ = -8	ΣQ = 2

      Tab. 3.2.8.3-V Analýza rozptylu

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10) Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky Tab. 3.2.8.3-IV Součty odpovědí a kontrasty Tab. 3.2.8.3-V Analýza rozptylu

      Zdroj variability	Stupně volnosti	Součet čtverců	Průměrný čtverec	F	P
      přípravky	2	103,14	51,57
      lineární regrese	1	45 530,07	45 530,07	2921	< 0,01
      nerovnoběžnost	2	13,49	6,75	0,43	> 0,05
      kvadratická regerese	1	0,02	0,02	0,00	> 0,05
      odchylka kvadratických členů	2	15,46	7,73	0,50	> 0,05
      ošetření (celkem)	8	45 662,17
      řádky	8	1229,06	153,63	9,86	< 0,01
      sloupce	8	1837,95	229,74	14,74	< 0,01
      reziduální chyba	56	872,77	15,585
      celkem	80	49 601,95

      Hodnoty pro součty čtverců se získají z tabulek 3.2.8.3-II a 3.2.8.3-IV pomocí vzorců v tabulkách 3.2.3-IV a 3.2.3-V.

      Reziduální chyba = Celkem - Ošetření - Řádky - Sloupce = 872,77

      Analýza prokazuje statisticky významné (P < 0,01) rozdíly mezi řádky a mezi sloupci na plotně. Tato skutečnost ukazuje přednost plánu latinských čtverců před plně znáhodněným plánem.

   1. Validita zkoušky

      Silná významnost regrese (P < 0,01) a nevýznamnost nelinearity i odchylky od rovnoběžnosti potvrzují, že zkouška je validní, což umožňuje výpočet účinnosti přípravku.

   1. Výpočet účinnosti a mezí spolehlivosti

      Podíl sousedních dávek je 2,0, takže I= ln 2 = 0,69315.

      Podle tabulky 6.1 je t = 2,00 pro 56 stupňů volnosti a pravděpodobnost P = 0,95.

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10) Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky Tab. 3.2.8.3-IV Součty odpovědí a kontrasty Tab. 3.2.8.3-V Analýza rozptylu

      Odhad účinnosti, získaný odlogaritmováním M_U, je tedy 2096 jednotek na mililitr.

      Logaritmy mezí spolehlivosti se vypočtou jako:

      Meze spolehlivosti jsou tedy 1990 až 2208 jednotek na mililitr.

      Užitím stejného postupu pro přípravek se dostane:

      Odhad účinnosti je 2664 jednotek na mililitr.

      Logaritmy mezí spolehlivosti jsou 7,8878 ± 0,0520.

      Meze spolehlivosti jsou tedy 2530 až 2807 jednotek na mililitr.

   2. Poznámka: Vyloučí-li se jeden přípravek z vícenásobné zkoušky uspořádané do latinského čtverce, je nutné zbytek analyzovat jako náhodné bloky.

   Příklad 3.2.8.4 Dvoudávková křížová zkouška

   1. Stanovení účinnosti insulinu na králících podkožním podáním

      Standardní přípravek se aplikoval v dávkách 1 a 2 jednotky na mililitr. Na základě označené účinnosti neznámého přípravku (A_U= 40 jednotek na mililitr) byly připraveny ekvivalentní dávky přípravku. Jednotliví králíci obdrželi podkožně 0,5 ml odpovídajícího ředění podle plánu v tabulce 3.2.8.4-I. Výsledné odpovědi jsou v tabulce 3.2.8.4-II. Velký rozptyl, který je zřejmě způsoben variabilitou mezi jednotlivými zvířaty, ilustruje užitečnost křížového pokusu.

      Tab. 3.2.8.4-I Uspořádání ošetření

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10) Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky Tab. 3.2.8.3-IV Součty odpovědí a kontrasty Tab. 3.2.8.3-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.4-I Uspořádání ošetření

      Skupina králíků
      	1	2	3	4
      den I	s1	s2	u1	u2
      den II	u2	u1	s2	s1

      Tab. 3.2.8.4-II Odpovědi y: součty hodnot glukosy v krvi (mg/100ml) po 1 a 2 1/2 h

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10) Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky Tab. 3.2.8.3-IV Součty odpovědí a kontrasty Tab. 3.2.8.3-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.4-I Uspořádání ošetření Tab. 3.2.8.4-II Odpovědi y: součty hodnot glukosy v krvi (mg/100ml) po 1 a 2 1/2 h

      	Skupina 1			Skupina 2			Skupina 3			Skupina 4
      	s1	u2	∑	s2	u1	∑	u1	s2	∑	u2	s1	∑
      	112	104	216	65	72	137	105	91	196	118	144	262
      	126	112	238	116	160	276	83	67	150	119	149	268
      	62	58	120	73	72	145	125	67	192	42	51	93
      	86	63	149	47	93	140	56	45	101	64	107	171
      	52	53	105	88	113	201	92	84	176	93	117	210
      	110	113	223	63	71	134	101	56	157	73	128	201
      	116	91	207	50	65	115	66	55	121	39	87	126
      	101	68	169	55	100	155	91	68	159	31	71	102
      průměr	95,6	82,8		69,6	93,3		89,9	66,6		72,4	106,8
      rozptyl	709,7	627,9		525,1	1012,5		479,6	230,6		1214,3	1215,1

      Hartleyovým testem nebyla nalezena významná neshoda rozptylů.

      Test spočívá ve výpočtu statistiky: největší odhad rozptylu/nejmenší odhad rozptylu. Tento podíl (1215,1/230,6 = 5,3) je menší než kritická hodnota 12,7 z tabulky 3.2.1-I pro P = 0,05 osm rozptylů, každý se sedmi stupni volnosti. Hartleyův test je jednodušší než Bartlettův a vyžaduje pouze výpočet jediného podílu. Ve většině případů je pro test heterogenity rozptylů postačující. Pro tato data dává Bartlettův test hodnotu testovací statistiky 6,4 při odpovídající kritické hodnotě 14,1.

      Součty odpovědí a lineární kontrasty byly vypočteny odděleně pro každý den zkoušky. Výsledky jsou v tabulce 3.2.8.4-III.

      Tab. 3.2.8.4-III Součty odpovědí a kontrasty

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10) Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky Tab. 3.2.8.3-IV Součty odpovědí a kontrasty Tab. 3.2.8.3-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.4-I Uspořádání ošetření Tab. 3.2.8.4-II Odpovědi y: součty hodnot glukosy v krvi (mg/100ml) po 1 a 2 1/2 h Tab. 3.2.8.4-III Součty odpovědí a kontrasty

      					Standard S	Přípravek U	Součet
      Den I
      	nízká dávka				S1I = 765	U1I = 719
      	vysoká dávka				S2I = 557	U2I = 579
      	součet				S1 = 1322	U1 = 1298	D1 = 2620
      Den II
      	nízká dávka				S1II = 854	U1II = 746
      	vysoká dávka				S2II = 533	U2II = 662
      	součet				S1 = 1387	U1 = 1408	DII = 2795
      Přípravky celkem					S = 2709	U = 2706	∑y = 5415
      Lineární kontrasty
      	den I				LSI = -208	LUI = -140	LI = -348
      	den II				LSII = -321	LUII = -84	LII = -405
      	celkem				LS = -529	LU = -224	∑L = -753

      Analýza rozptylu pro tento plán experimentu je složitější než pro jiné plány, protože složka součtu čtverců tvořená odchylkou od rovnoběžnosti není nezávislá na složce tvořené rozdíly mezi králíky. Test rovnoběžnosti regresních přímek vyžaduje výpočet dalšího reziduálního součtu čtverců "uvnitř králík", který se získá odečtením složky rovnoběžnosti a dvou "interakcí" od složky mezi králíky.

      Díky opakování v každé skupině obsahuje analýza tři "interakce":

      1. dny x přípravky, dny x regrese, dny x rovnoběžnost.

      Tyto členy reprezentují náchylnost jednotlivých složek (efektu přípravku, regrese a rovnoběžnosti) měnit se den ode dne. Odpovídající F-test kontroluje platnost modelu se zřetelem na tuto skutečnost. Statisticky významné výsledky F-testu je třeba interpretovat opatrně, a pokud je to možné, zkoušku zopakovat.

      Tab. 3.2.8.4-IV Analýza rozptylu

      Tab. 3.2.8.1-I Odpovědi y-množství kyseliny askorbové (mg) ve 100 g nadledvin Tab. 3.2.8.1-II Výpočet hodnoty v pro ošetření s1 (n = 10) Tab. 3.2.8.1-III Výpočet hodnot H pro všechna ošetření (n = 10) Tab. 3.2.8.1-IV Součty odpovědí a kontrasty (viz tabulka 3.2.3-I) Tab. 3.2.8.1-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.1-VI Analýza rozptylu s vyloučením dat o přípravku Z Tab. 3.2.8.2-I Odpovědi y: průměry inhibiční zóny (mm. 10) Tab. 3.2.8.2-II Součty a kontrasty odpovědí (viz tabulka 3.2.3-II) Tab. 3.2.8.2-III Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.3-I Uspořádání ošetření na políčkách plotny (latinský čtverec) Tab. 3.2.8.3-II Odpovědi y: průměr inhibiční zóny (mm . 10) Tab. 3.2.8.3-III Průměrné hodnoty a směrodatné odchylky Tab. 3.2.8.3-IV Součty odpovědí a kontrasty Tab. 3.2.8.3-V Analýza rozptylu Tab. 3.2.8.4-I Uspořádání ošetření Tab. 3.2.8.4-II Odpovědi y: součty hodnot glukosy v krvi (mg/100ml) po 1 a 2 1/2 h Tab. 3.2.8.4-III Součty odpovědí a kontrasty Tab. 3.2.8.4-IV Analýza rozptylu

      Zdroj variability	Stupně volnosti	Součet čtverců	Průměrný čtverec	F	P
      nerovnoběžnost	1	1453,5	1453,5	1,06	> 0,05
      dny x přípravky	1	31,6	31,6	0,02	> 0,05
      dny x regrese	1	50,8	50,8	0,04	> 0,05
      reziduální chyba mezi králíky	28	38 258,8	1366,4
      bloky (králíci)	31	39 794,7	1283,7
      přípravky	1	0,1	0,1	0,00	> 0,05
      regrese	1	8859,5	8859,5	64,5	< 0,01
      dny	1	478,5	478,5	3,48	> 0,05
      dny x nerovnoběžnost	1	446,3	446,3	3,25	> 0,05
      reziduální chyba"uvnitř"králíků	28	3844,1	137,3
      součet	63	53 423,2

      Hodnoty součtu čtverců se získají z tabulky a 3.2.8.4-III pomocí vzorců v tabulce 3.2.3-IV.

      V této zkoušce je celkový počet odpovědí na každé ošetření v obou dnech n = 16.

      kde B_i je celková odpověď králíka z tabulky 3.2.8.4-II.

      kde D_I a D_II jsou celkové odpovědi pro každý den.

      Reziduální chyba mezi králíky = Bloky - Nerovnoběžnost - (Dny x Přípravky) - (Dny x Regrese) = 38 258,81.

      Reziduální chyba "uvnitř" králíků = Celkem - Bloky - Dny - Přípravky - Regrese - (Dny x Nerovnoběžnost) = 3 844,06.

   1. Validita zkoušky

      Analýza potvrzuje, že data splňují podmínky nutné pro použití zkoušky: